Para hablar de logaritmos es necesario definir algunos aspectos:
1. ¿Qué es una función logaritmica?
Esto se puede definir de la siguiente manera: En una función si b>0 y b≠1, la función exponencial f(x)=bx siempre es creciente o decreciente, así que es inyectiva por la prueba de la recta horizontal. Por tanto tiene una función inversa f-1 que se llama la función logarítmica con base b y se denomina logb. Si se utiliza la formulación de una función inversa dada por: f-1 (x) =y ó f(y)=x entonces se tiene logbx = y ó by=x.
1. ¿Qué es una función logaritmica?
Esto se puede definir de la siguiente manera: En una función si b>0 y b≠1, la función exponencial f(x)=bx siempre es creciente o decreciente, así que es inyectiva por la prueba de la recta horizontal. Por tanto tiene una función inversa f-1 que se llama la función logarítmica con base b y se denomina logb. Si se utiliza la formulación de una función inversa dada por: f-1 (x) =y ó f(y)=x entonces se tiene logbx = y ó by=x.
Así, si x>0, entonces logbx es el exponente al
que hay que elevar la base b para obtener x. Por ejemplo, el log100.001
=-3, ya que 10-3= 0.001.
Las ecuaciones de cancelación, cuando se aplican las
funciones f(x)= bx y f-1 (x)= logbx, se
convierte en:
logb(bx) =x para todo xꓰꓣ
blogx=x para todo x>0
La función logarítmica logb tiene dominio (0,∞) y rango
R. Su grafica es la reflexión de la gráfica de y= bx a través de la
recta y=x.
El hecho de que y= logbx es una función de lento
crecimiento para x>1.
Leyes de los logaritmos: Si x e y son números positivos, entonces
1.
Logb(xy) = logbx + logby
2.
Logb(x/y)= logbx - logby
3.
Logb(xr) = r logbx (donde r es cualquier numero real)
Logaritmos naturales
De todas las posibles bases b de los logaritmos, la más
conveniente es el numero e. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo
natural y tiene una notación especial:
Logex = In x
Si se hace b=e y se sustituye loge con “In”, entonces
las propiedades que definen a la función logaritmo natural se convierte en: In
x = y ó
ey = x
In (ex) = x
x ꓰ
R
eIn x = x
x>0
En particular, si se hace x= 1, se obtiene: In e = 1
Derivada de funciones logarítmicas
En esta sección se utilizara la derivación implícita para
determinar las derivadas de las funciones logarítmicas y=logbxy, en
particular, de la función logaritmo natural y= In x.
Si en la formula 1 se hace b= e, entonces el factor In b en
el lado derecho se convierten In e= 1 y se obtiene la fórmula para la derivada
de la función logarítmica natural loge x = In x:
En general, si se combina la formula 2 con la regla de la
cadena como en el ejemplo 1, se obtiene:
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